数据结构

夏天老师

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数据结构

1,引用

首先我们先看到题,感受下数据结构的魅力

如果a+b+c = 1000,且a^2+b^2 = c^2 。求出所有组合

1,首先枚举法(最简单的方法)

import time
start_time = time.time()

for x in range(1001):    
    for y in range(1001):        
        for z in range(1001):            
            if x**2 + y**2 == z**2 and x+y+z == 1000:                
                print("x , y , z : %d , %d , %d"%(x,y,z))

end_time = time.time()
print("--- %d ---"%(end_time-start_time))

运行结果

x , y , z : 0 , 500 , 500
x , y , z : 200 , 375 , 425
x , y , z : 375 , 200 , 425
x , y , z : 500 , 0 , 500
--- 1519 ---

2,第二次尝试

import time
start_time = time.time()
for x in range(1001):    
    for y in range(1001-x):        
        if x**2+y**2 == (1000-x-y)**2:                  
            print('x , y , z : %d , %d , %d'%(x,y,(1000-x-y)))

end_time = time.time()
print("--- %d ---"%(end_time-start_time))

运行结果

x , y , z : 0 , 500 , 500
x , y , z : 200 , 375 , 425
x , y , z : 375 , 200 , 425
x , y , z : 500 , 0 , 500
--- 0 ---

查看两者时间,差距相当大

算法分析

  • 第一次的算法核心

    时间复杂度:T(n) = O(n*n*n) = O(n^3)

  • 第二次的算法核心

    时间复杂度:T(n) = O(n*n*(1+1)) = O(n^2)

2,时间复杂度

1,最坏时间复杂度

分析算法时,存在几种可能的考虑

  • 最优时间复杂度:算法完成工作最少需要多少基本操作
  • 最坏时间复杂度:算法完成工作最多需要多少基本操作
  • 平均时间复杂度:算法完成工作平均需要多少基本操作

    因此,我们主要关注算法的最坏情况,即最坏时间复杂度

2,时间复杂度的几条基本计算规则

  1. 基本操作,即只有常数项,认为其时间复杂度为O(1)
  2. 顺序结构,时间复杂度按加法进行计算
  3. 循环结构,时间复杂度按乘法进行计算
  4. 分支结构,时间复杂度取最大值
  5. 判断一个算法的效率时,往往只需要关注操作的最高次项,其它次要项和常数项可以忽略
  6. 在没有特殊说明时,我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

3,常见时间复杂度

执行次数函数举例 非正式术语
12 O(1) 常数阶
2n+1 O(n) 线性阶
3n^2+2n+1 O(n^2) 平方阶
5log2 n + 20 O(logn) 对数阶
2n+3nlog2n+19 O(nlogn) nlogn阶
6n^2+2n^2+3n+4 O(n^3) 立方阶
2^n O(2^n) 指数阶

数据结构

对数阶demo:a = a\*2, 也就是说多少个2相乘, 2^x = n x = logn(以2为底,n的对数)

4,常见时间复杂度之间的关系

数据结构
所消耗的时间从小到大
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

5,list内置操作的时间复杂度

数据结构

6,dict内置操作的时间复杂度

数据结构

3,算法与数据结构概念

算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想

1,算法的五大特征

  1. 输入:算法具有0个或多个输入
  2. 输出:算法至少有1个或多个输出
  3. 有穷性:算法在有限的步骤之后会自动结束而不会循环,并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成
  4. 确定性:算法中的每一步都有确定的含义,不会出现二义性
  5. 可行性:算法的每一步都是可行的,也就是说每一步都能

数据是一个抽象的概念,将其进行分类后得到程序设计语言中的基本类型。如:int,float,char等。数据元素之间不能独立的,存在特定的关系,这些关系便是结构。数据结构指数据对象中数据元素之间的关系。

2,算法和数据结构的区别

数据结构只是静态的描述了数据元素之间的关系。
高效的程序需要在数据结构的基础上设计和选择算法。

程序 = 数据结构 + 算法
总计 : 算法是为了解决实际问题而设计的,数据结构是算法需要处理的问题载体

抽象数据类型(ADT):指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作。即把数据类型和数据类型上的运算捆在一起,进行封装。引入抽象数据类型的目的是把数据类型的表示和数据类型上运算的实现与这些数据类型和算法在程序中的引用隔开,使他们相互独立。

最常用的数据运算有五种:

  • 插入
  • 删除
  • 修改
  • 查找
  • 排序

4,Python内置性能分析模块

timeit模块

timeit模块可以用来测试一小段Python代码的执行速度

  • class timeit.Timer(stmt=’pass’ , setup=’pass’ , timer =)

    • Timer是测量小段代码执行速度的类
    • stmt参数是要测试的代码语句(statment)
    • setup参数是运行代码时需要的设置
    • timer参数是一个定时器函数,与平台无关
  • timeit.Timer.timeit ( number = 1000000 )

    • Timer类中测试语句执行速度的对象方法
    • number参数是测试代码时的测试次数,默认是1000000次。方法返回执行代码的平均耗时,一个float类型的秒数。

list操作

def test1():    
    l = []    
    for i in range(1000):        
        l = l+[i]

def test2():    
    l = []    
    for i in range(1000):        
        l.append(i)

def test3():    
    l = [i for i in range (1000)]

def test4():    
    l = list(range(1000))

from timeit import Timer
t1 = Timer(&quot;test1()&quot;,&quot;from __main__ import test1&quot;)
print(&quot;concat&quot;,t1.timeit(number=1000),&quot;seconds&quot;)
t2 = Timer(&quot;test2()&quot;,&quot;from __main__ import test2&quot;)
print(&quot;append&quot;,t2.timeit(number=1000),&quot;seconds&quot;)
t3 = Timer(&quot;test3()&quot;,&quot;from __main__ import test3&quot;)
print(&quot;comprehension&quot;,t3.timeit(number=1000),&quot;seconds&quot;)
t4 = Timer(&quot;test4()&quot;,&quot;from __main__ import test4&quot;)
print(&quot;list range&quot;,t4.timeit(number=1000),&quot;seconds&quot;)

运算结果

concat 1.9259322 seconds
append 0.09193269999999987 seconds
comprehension 0.04809899999999967 seconds
list range 0.018848399999999987 seconds

5,线性表之顺序表

线性表是某类元素的一个集合,还记录这元素之间的一种顺序关系

根据实际存储方式,分为两种实现模型:

  • 顺序表:将元素顺序的存放在一个连续的存储区里,元素间的顺序关系由它们的存储顺序自然表示
  • 链表:将元素存放在通过链接结构起来的一系列的存储块中

1,顺序表的基本形式

数据结构
顺序表的数据元素本身连续存储,每个元素所占的存储单元大小固定相同,元素的下标是其逻辑地址,而元素存储的物理地址(实际内存地址)可以通过存储区的起始地址Loc(e0)加上逻辑地址(第i个元素)与存储单元大小(c)的乘积计算而得,即:
数据结构

因此,访问元素无需遍历,仅计算便可获得地址,复杂度为O(1)

如果元素的大小不统一,则须采用图b的元素外置的形式,将实际数据元素另行存储,而顺序表中各单元位置保存对应元素的地址信息(即链接)。由于每个链接所需的存储量相同,通过上述公式,可以计算出元素链接的存储位置,而后顺着链接找到实际存储的数据元素。注意,图b中的c不再是数据元素的大小,而是存储一个链接地址所需的存储量,这个量通常很小,类似于hive的外表表

图b这样的顺序表也被称为对实际数据的索引,这是最简单的索引结构

2,顺序表的结构

数据结构

一个顺序表的完整信息包括两部分
一部分是表中的元素集合
另一部分是为实现正确操作而需记录的信息
即有关表的整体情况的信息,这部分信息主要包括元素存储区的容量和当前表中已有的元素个数两项

3,顺序表的两种基本实现方式

数据结构

  • 图a为一体式结构,存储表信息的单元与元素存储区以连续的方式安排在一个块存储区里,两部分数据的整体形成一个完成的顺序表对象。一体式结构整体性强,易于管理。但是由于数据元素存储区域是表对象的一部分,顺序表创建后,元素存储区就固定了

  • 图b为分离式结构,表对象里只保存与整个表有关的信息(即容量和元素个数),实际数据元素存放在另一个独立的元素存储区里,通过链接与基本表对象关联。

4,元素存储区的替换

  • 一体式结构由于顺序表信息区与数据区连续存储在一起,所以若想更换数据区,则只能整体搬迁,即整个顺序表对象(指存储顺序表的结构信息的区域)改变了。

  • 分离式结构若想更换数据区,只需将表信息区中的数据区链接地址更新即可,而该顺序表对象不变。

5,元素存储区扩充

采用分离式结构的顺序表,若将数据区更换为存储空间更大的区域,则可以在不改变表对象的前提下对其数据存储区进行了扩充,所有使用这个表的地方都不必修改。只要程序的运行环境(计算机系统)还有空闲存储,这种表结构就不会因为满了而导致操作无法进行。人们把采用这种技术实现的顺序表称为动态顺序表,因为其容量可以在使用中动态变化。

扩充的两种策略
  • 每次扩充增加固定数目的存储位置,如每次扩充增加10个元素位置,这种策略可称为线性增长。
    特点:节省空间,但是扩充操作频繁,操作次数多。

  • 每次扩充容量加倍,如每次扩充增加一倍存储空间。
    特点:减少了扩充操作的执行次数,但可能会浪费空间资源。以空间换时间,推荐的方式。

6,顺序表的操作

1,增加元素

数据结构

为顺序表增加新元素111的三种方式

  • 尾端加入元素,时间复杂度为O(1)
  • 非保守的加入元素(不常见),时间复杂度为O(1)
  • 保存的元素加入,时间复杂度为O(n)
    2,删除元素

    数据结构

  • 删除表尾元素,时间复杂度为O(1)
  • 非保守的元素删除(不常见),时间复杂度为O(1)
  • 保存的元素删除,时间复杂度为O(n)

7,Python中的顺序表

Python中的list和tuple两种类型采用了顺序表的实现技术,具有前面讨论的顺序表的所有性质。

tuple是不可变类型,即不变的顺序表,因此不支持改变其内部状态的任何操作,而其他方面,则与list的性质类似。

list的基本实现技术

Python标准类型list就是一种元素个数可变的线性表,可以加入和删除元素,并在各种操作中维持已有元素的顺序(即保序),而且还具有以下行为特征:

  • 基于下标(位置)的高效元素访问和更新,时间复杂度应该是O(1);
    为满足该特征,应该采用顺序表技术,表中元素保存在一块连续的存储区中。
  • 允许任意加入元素,而且在不断加入元素的过程中,表对象的标识(函数id得到的值)不变。
    为满足该特征,就必须能更换元素存储区,并且为保证更换存储区时list对象的标识id不变,只能采用分离式实现技术。

在Python的官方实现中,list就是一种采用分离式技术实现的动态顺序表。这就是为什么用list.append(x) (或 list.insert(len(list), x),即尾部插入)比在指定位置插入元素效率高的原因。
在Python的官方实现中,list实现采用了如下的策略:在建立空表(或者很小的表)时,系统分配一块能容纳8个元素的存储区;在执行插入操作(insert或append)时,如果元素存储区满就换一块4倍大的存储区。但如果此时的表已经很大(目前的阀值为50000),则改变策略,采用加一倍的方法。引入这种改变策略的方式,是为了避免出现过多空闲的存储位置。

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拜师教育学员文章:作者:夏天老师, 转载或复制请以 超链接形式 并注明出处 拜师资源博客
原文地址:《数据结构》 发布于2020-09-09

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