数据结构与算法(2)

1536-林同学

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本节主要讲解的是顺序表与链表。
提示:文章较长。

在程序中,经常需要将一组(通常是同为某个类型的)数据元素作为整体管理和使用,需要创建这种元素组,用变量记录它们,传进传出函数等。一组数据中包含的元素个数可能发生变化(可以增加或删除元素)。

对于这种需求,最简单的解决方案便是将这样一组元素看成一个序列,用元素在序列里的位置和顺序,表示实际应用中的某种有意义的信息,或者表示数据之间的某种关系。

这样的一组序列元素的组织形式,我们可以将其抽象为线性表。一个线性表是某类元素的一个集合,还记录着元素之间的一种顺序关系。线性表是最基本的数据结构之一,在实际程序中应用非常广泛,它还经常被用作更复杂的数据结构的实现基础。

根据线性表的实际存储方式,分为两种实现模型:

顺序表,将元素顺序地存放在一块连续的存储区里,元素间的顺序关系由它们的存储顺序自然表示。
链表,将元素存放在通过链接构造起来的一系列存储块中。

1. 顺序表

数据结构与算法(2)
图a表示的是顺序表的基本形式,数据元素本身连续存储,每个元素所占的存储单元大小固定相同,元素的下标是其逻辑地址,而元素存储的物理地址(实际内存地址)可以通过存储区的起始地址Loc (e0)加上逻辑地址(第i个元素)与存储单元大小(c)的乘积计算而得,即:
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故,访问指定元素时无需从头遍历,通过计算便可获得对应地址,其时间复杂度为O(1)。
如果元素的大小不统一如所需储存元素是一个包含不同数据类型的列表[1,“abc”,3.1415926],则须采用图b的元素外置的形式,将实际数据元素另行存储,而顺序表中各单元位置保存对应元素的地址信息(即链接)。由于每个链接所需的存储量相同,通过上述公式,可以计算出元素链接的存储位置,而后顺着链接找到实际存储的数据元素。图b中的c不再是数据元素的大小,而是存储一个链接地址所需的存储量,这个量通常很小。
图b这样的顺序表也被称为对实际数据的索引,这是最简单的索引结构。

1.1 顺序表的结构与实现

1.1.1 顺序表的结构

数据结构与算法(2)
一个顺序表的完整信息包括两部分,一部分是表中的元素集合,另一部分是为实现正确操作而需记录的信息,即有关表的整体情况的信息,这部分信息主要包括元素存储区的容量和当前表中已有的元素个数两项。

1.1.2 顺序表的两种实现方式

数据结构与算法(2)
图a为一体式结构,存储表信息的单元与元素存储区以连续的方式安排在一块存储区里,两部分数据的整体形成一个完整的顺序表对象。

一体式结构整体性强,易于管理。但是由于数据元素存储区域是表对象的一部分,顺序表创建后,元素存储区就固定了。

图b为分离式结构,表对象里只保存与整个表有关的信息(即容量和元素个数),实际数据元素存放在另一个独立的元素存储区里,通过链接与基本表对象关联。
元素存储区替换
一体式结构由于顺序表信息区与数据区连续存储在一起,所以若想更换数据区,则只能整体搬迁,即整个顺序表对象(指存储顺序表的结构信息的区域)改变了。
分离式结构若想更换数据区,只需将表信息区中的数据区链接地址更新即可,而该顺序表对象不变。
元素存储区扩充
采用分离式结构的顺序表,若将数据区更换为存储空间更大的区域,则可以在不改变表对象的前提下对其数据存储区进行了扩充,所有使用这个表的地方都不必修改。只要程序的运行环境(计算机系统)还有空闲存储,这种表结构就不会因为满了而导致操作无法进行。人们把采用这种技术实现的顺序表称为动态顺序表,因为其容量可以在使用中动态变化。
扩充的两种策略

  1. 每次扩充增加固定数目的存储位置,如每次扩充增加10个元素位置,这种策略可称为线性增长。
    特点:节省空间,但是扩充操作频繁,操作次数多。

  2. 每次扩充容量加倍,如每次扩充增加一倍存储空间。
    特点:减少了扩充操作的执行次数,但可能会浪费空间资源。以空间换时间,推荐的方式。
    增加元素
    如图所示,为顺序表增加新元素111的三种方式
    数据结构与算法(2)
    a. 尾端加入元素,时间复杂度为O(1)
    b. 非保序的加入元素(不常见),时间复杂度为O(1)
    c. 保序的元素加入,时间复杂度为O(n)

删除元素
数据结构与算法(2)
a. 删除表尾元素,时间复杂度为O(1)
b. 非保序的元素删除(不常见),时间复杂度为O(1)
c. 保序的元素删除,时间复杂度为O(n)

1.2 Python中的顺序表

Python中的list和tuple两种类型采用了顺序表的实现技术,具有前面讨论的顺序表的所有性质。
tuple是不可变类型,即不变的顺序表,因此不支持改变其内部状态的任何操作,而其他方面,则与list的性质类似。
Python标准类型list就是一种元素个数可变的线性表,可以加入和删除元素,并在各种操作中维持已有元素的顺序(即保序),而且还具有以下行为特征:
基于下标(位置)的高效元素访问和更新,时间复杂度应该是O(1);

  1. 为满足该特征,应该采用顺序表技术,表中元素保存在一块连续的存储区中。
  2. 允许任意加入元素,而且在不断加入元素的过程中,表对象的标识(函数id得到的值)不变。
  3. 为满足该特征,就必须能更换元素存储区,并且为保证更换存储区时list对象的标识id不变,只能采用分离式实现技术。

在Python的官方实现中,list就是一种采用分离式技术实现的动态顺序表。这就是为什么用list.append(x) (或 list.insert(len(list), x),即尾部插入)比在指定位置插入元素效率高的原因。
在Python的官方实现中,list实现采用了如下的策略:在建立空表(或者很小的表)时,系统分配一块能容纳8个元素的存储区;在执行插入操作(insert或append)时,如果元素存储区满就换一块4倍大的存储区。但如果此时的表已经很大(目前的阀值为50000),则改变策略,采用加一倍的方法。引入这种改变策略的方式,是为了避免出现过多空闲的存储位置。

2. 链表

顺序表的构建需要预先知道数据大小来申请连续的存储空间,而在进行扩充时又需要进行数据的搬迁,所以使用起来并不是很灵活。
链表结构可以充分利用计算机内存空间,实现灵活的内存动态管理。
链表(Linked list)是一种常见的基础数据结构,是一种线性表,但是不像顺序表一样连续存储数据,而是在每一个节点(数据存储单元)里存放下一个节点的位置信息(即地址)。
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2.1 单向链表

单向链表也叫单链表,是链表中最简单的一种形式,它的每个节点包含两个域,一个信息域(元素域)和一个链接域。这个链接指向链表中的下一个节点,而最后一个节点的链接域则指向一个空值。
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  1. 表元素域elem用来存放具体的数据。
  2. 链接域next用来存放下一个节点的位置(python中的标识)
  3. 变量p指向链表的头节点(首节点)的位置,从p出发能找到表中的任意节点。

2.1.1 对单向链表进行操作

一般来说,我们可以通过以下操作对单向链表进行操作:
单链表的操作
is_empty() 链表是否为空
length() 链表长度
travel() 遍历整个链表
add(item) 链表头部添加元素
append(item) 链表尾部添加元素
insert(pos, item) 指定位置添加元素
remove(item) 删除节点
search(item) 查找节点是否存在

下面我们尝试用python来实现单项链表的上述操作:
实现单链表操作需要建立两个类,分别是节点类和链表类,因为节点类我们要存放数据元素和节点标识,而链表类我们要对其进行链表操作。对分类有疑问的朋友可以看我之前的博客Python知识回顾(7).

class SingleNode(object):
    """单链表的节点"""
    def  __init__(self,item):
        #__item用于存放数据元素
        self.item = item
        #__next是下一个节点的标识
        self.next= None

如果您是小白,对于上述代码有一点楷楷要说明一下。在python2中,我们建立类的时候需要自定义继承object对象,所以括号中会有object,在python3中已经自动帮您继承,故不用写,还有也许您会在代码中见到#coding : utf-8,这也是python2和python3的一个j不同点,解释器在解释Unicode编码时造成的不同。

class SingleLinkList(object):
    """单链表"""
    def __init__(self):
        self.__head = None#注意__head是私有属性
    def is_empty(self):
        """判断链表是否为空"""
        return self.__head == None
    def length(self):
        """判断链表长度"""
        """cur初始时指向头结点,cur是我们进行链表操作时设置的一个用于指向节点的指针"""
        cur = self.__head
        count = 0#count用于计算节点个数
        #尾结点指向Nnoe,当未到达尾部时
        while cur != None:
            count += 1
            #将cur后移一个节点
            cur = cur.next
        return count
    def travel(self):
        """遍历整个链表"""
        cur = self.__head
        while cur != None:
            print(cur.item)
            cur = cur.next#注意,如果是空链表的话这个while语句就不会执行,也就不会存在cur指针没有item和next属性的时候。
        print("")

以上的几种实例方法均为不引入节点类就可以实现的方法。
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    def add(self,item):
        """在头部添加元素"""
        #先创建一个保存item值的节点
        node = SingleNode(item)
        #将新节点的链接域next指向头节点,即__head指向的位置
        node.next = self.__head
        #将链表头节点__heap指向新节点,注意这一步和上一步不能反过来!因为反过来会改变头节点的指向
        self.__head = node
    def append(self,item):
        """尾部添加元素"""
        node = SingleNode(item)
        #先判断链表是否为空,若为空,将__head指向新节点
        if self.is_empty():
            self.__head = node
        #若不为空,找到尾节点,将尾节点指向node
        else:
            cur = self.__head
            while cur.next !=  None:
                cur = cur.next
            cur.next = node
    def insert(self,pos,item):
        """在指定位置插入元素"""
        #若指定pos位于第一个元素之前,则执行头部插入
        if pos <= 0:
            self.add(item)
        #若指定pos位于最后一个元素之后,则执行尾部插入
        elif pos > (self.length()-1):
            self.append(item)
        else:
            node = SingleNode(item)
            count = 0
            # pre用来指向指定位置pos的前一个位置pos-1,初始从头节点开始移动到指定位置
            pre = self.__head
            while count < (pos - 1):
                count += 1
                pre = pre.next
            # 先将新节点node的next指向插入位置的节点
            node.next = pre.next
            # 将插入位置的前一个节点的next指向新节点
            pre.next = node
    def remove(self,item):
        """删除链表中节点"""
        """这个操作需要设置两个指针,一个指针指向被操作节点之前,一个指针指向被操作节点之后"""
        cur = self.__head
        pre = None
        while cur != None:
            if cur.item == item:#找到了指定元素
                if not pre:#如果第一个节点就是删除的节点
                    #将头指针指向节点后的第一个节点
                    self.__head = cur.next
                else:
                    #将删除位置前一个节点的next指向删除位置后一个节点
                    pre.next = cur.next
                break
            else:
                #继续按照链表后移节点
                pre = cur
                cur = cur.next
    def research(self,item):
        """链表查找节点是否存在,并返回True或者False"""
        cur = self.__head
        while cur != None:
            if cur.item == item:
                return True
            cur = cur.next
        return False

下面进行测试:

if __name__ == "__main__":
    ll = SingleLinkList()
    ll.add(1)
    ll.add(2)
    ll.append(3)
    ll.insert(2, 4)
    print( "length:",ll.length())
    ll.travel()
    print( ll.research(3))
    print( ll.research(5))
    ll.remove(1)
    print( "length:",ll.length())
    ll.travel()

2.1.2 链表与顺序表的对比

链表失去了顺序表随机读取的优点,同时链表由于增加了结点的指针域,空间开销比较大,但对存储空间的使用要相对灵活。

链表与顺序表的各种操作复杂度如下所示:
数据结构与算法(2)
注意虽然表面看起来复杂度都是 O(n),但是链表和顺序表在插入和删除时进行的是完全不同的操作。链表的主要耗时操作是遍历查找,删除和插入操作本身的复杂度是O(1)。顺序表查找很快,主要耗时的操作是拷贝覆盖。因为除了目标元素在尾部的特殊情况,顺序表进行插入和删除时需要对操作点之后的所有元素进行前后移位操作,只能通过拷贝和覆盖的方法进行。

2.2 单向循环链表

单链表的一个变形是单向循环链表,链表中最后一个节点的next域不再为None,而是指向链表的头节点。
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2.2.1 对单向循环链表进行操作

is_empty() 判断链表是否为空
length() 返回链表的长度
travel() 遍历
add(item) 在头部添加一个节点
append(item) 在尾部添加一个节点
insert(pos, item) 在指定位置pos添加节点
remove(item) 删除一个节点
search(item) 查找节点是否存在
代码如下:


class Node(object):
    """节点"""
    def __init__(self, item):
        self.item = item
        self.next = None


class SinCycLinkedlist(object):
    """单向循环链表"""
    def __init__(self):
        self._head = None

    def is_empty(self):
        """判断链表是否为空"""
        return self._head == None

    def length(self):
        """返回链表的长度"""
        # 如果链表为空,返回长度0
        if self.is_empty():
            return 0
        count = 1
        cur = self._head
        while cur.next != self._head:
            count += 1
            cur = cur.next
        return count

    def travel(self):
        """遍历链表"""
        if self.is_empty():
            return
        cur = self._head
        print cur.item,
        while cur.next != self._head:
            cur = cur.next
            print cur.item,
        print ""


    def add(self, item):
        """头部添加节点"""
        node = Node(item)
        if self.is_empty():
            self._head = node
            node.next = self._head
        else:
            #添加的节点指向_head
            node.next = self._head
            # 移到链表尾部,将尾部节点的next指向node
            cur = self._head
            while cur.next != self._head:
                cur = cur.next
            cur.next = node
            #_head指向添加node的
            self._head = node

    def append(self, item):
        """尾部添加节点"""
        node = Node(item)
        if self.is_empty():
            self._head = node
            node.next = self._head
        else:
            # 移到链表尾部
            cur = self._head
            while cur.next != self._head:
                cur = cur.next
            # 将尾节点指向node
            cur.next = node
            # 将node指向头节点_head
            node.next = self._head

    def insert(self, pos, item):
        """在指定位置添加节点"""
        if pos <= 0:
            self.add(item)
        elif pos > (self.length()-1):
            self.append(item)
        else:
            node = Node(item)
            cur = self._head
            count = 0
            # 移动到指定位置的前一个位置
            while count < (pos-1):
                count += 1
                cur = cur.next
            node.next = cur.next
            cur.next = node

    def remove(self, item):
        """删除一个节点"""
        # 若链表为空,则直接返回
        if self.is_empty():
            return
        # 将cur指向头节点
        cur = self._head
        pre = None
        # 若头节点的元素就是要查找的元素item
        if cur.item == item:
            # 如果链表不止一个节点
            if cur.next != self._head:
                # 先找到尾节点,将尾节点的next指向第二个节点
                while cur.next != self._head:
                    cur = cur.next
                # cur指向了尾节点
                cur.next = self._head.next
                self._head = self._head.next
            else:
                # 链表只有一个节点
                self._head = None
        else:
            pre = self._head
            # 第一个节点不是要删除的
            while cur.next != self._head:
                # 找到了要删除的元素
                if cur.item == item:
                    # 删除
                    pre.next = cur.next
                    return
                else:
                    pre = cur
                    cur = cur.next
            # cur 指向尾节点
            if cur.item == item:
                # 尾部删除
                pre.next = cur.next

    def search(self, item):
        """查找节点是否存在"""
        if self.is_empty():
            return False
        cur = self._head
        if cur.item == item:
            return True
        while cur.next != self._head:
            cur = cur.next
            if cur.item == item:
                return True
        return False

if __name__ == "__main__":
    ll = SinCycLinkedlist()
    ll.add(1)
    ll.add(2)
    ll.append(3)
    ll.insert(2, 4)
    ll.insert(4, 5)
    ll.insert(0, 6)
    print "length:",ll.length()
    ll.travel()
    print ll.search(3)
    print ll.search(7)
    ll.remove(1)
    print "length:",ll.length()
    ll.travel()

2.3 双向链表

一种更复杂的链表是“双向链表”或“双面链表”。每个节点有两个链接:一个指向前一个节点,当此节点为第一个节点时,指向空值;而另一个指向下一个节点,当此节点为最后一个节点时,指向空值。
数据结构与算法(2)

2.3.1 对双向链表进行操作

is_empty() 链表是否为空
length() 链表长度
travel() 遍历链表
add(item) 链表头部添加
append(item) 链表尾部添加
insert(pos, item) 指定位置添加
remove(item) 删除节点
search(item) 查找节点是否存在

class Node(object):
    """双向链表节点"""
    def __init__(self, item):
        self.item = item
        self.next = None
        self.prev = None


class DLinkList(object):
    """双向链表"""
    def __init__(self):
        self._head = None

    def is_empty(self):
        """判断链表是否为空"""
        return self._head == None

    def length(self):
        """返回链表的长度"""
        cur = self._head
        count = 0
        while cur != None:
            count += 1
            cur = cur.next
        return count

    def travel(self):
        """遍历链表"""
        cur = self._head
        while cur != None:
            print cur.item,
            cur = cur.next
        print ""

    def add(self, item):
        """头部插入元素"""
        node = Node(item)
        if self.is_empty():
            # 如果是空链表,将_head指向node
            self._head = node
        else:
            # 将node的next指向_head的头节点
            node.next = self._head
            # 将_head的头节点的prev指向node
            self._head.prev = node
            # 将_head 指向node
            self._head = node

    def append(self, item):
        """尾部插入元素"""
        node = Node(item)
        if self.is_empty():
            # 如果是空链表,将_head指向node
            self._head = node
        else:
            # 移动到链表尾部
            cur = self._head
            while cur.next != None:
                cur = cur.next
            # 将尾节点cur的next指向node
            cur.next = node
            # 将node的prev指向cur
            node.prev = cur



    def search(self, item):
        """查找元素是否存在"""
        cur = self._head
        while cur != None:
            if cur.item == item:
                return True
            cur = cur.next
        return False

数据结构与算法(2)

    def insert(self, pos, item):
        """在指定位置添加节点"""
        if pos <= 0:
            self.add(item)
        elif pos > (self.length()-1):
            self.append(item)
        else:
            node = Node(item)
            cur = self._head
            count = 0
            # 移动到指定位置的前一个位置
            while count < (pos-1):
                count += 1
                cur = cur.next
            # 将node的prev指向cur
            node.prev = cur
            # 将node的next指向cur的下一个节点
            node.next = cur.next
            # 将cur的下一个节点的prev指向node
            cur.next.prev = node
            # 将cur的next指向node
            cur.next = node

数据结构与算法(2)

    def remove(self, item):
        """删除元素"""
        if self.is_empty():
            return
        else:
            cur = self._head
            if cur.item == item:
                # 如果首节点的元素即是要删除的元素
                if cur.next == None:
                    # 如果链表只有这一个节点
                    self._head = None
                else:
                    # 将第二个节点的prev设置为None
                    cur.next.prev = None
                    # 将_head指向第二个节点
                    self._head = cur.next
                return
            while cur != None:
                if cur.item == item:
                    # 将cur的前一个节点的next指向cur的后一个节点
                    cur.prev.next = cur.next
                    # 将cur的后一个节点的prev指向cur的前一个节点
                    cur.next.prev = cur.prev
                    break
                cur = cur.next

测试:

if __name__ == "__main__":
    ll = DLinkList()
    ll.add(1)
    ll.add(2)
    ll.append(3)
    ll.insert(2, 4)
    ll.insert(4, 5)
    ll.insert(0, 6)
    print "length:",ll.length()
    ll.travel()
    print ll.search(3)
    print ll.search(4)
    ll.remove(1)
    print "length:",ll.length()
    ll.travel()

这一节,很绕,如果您能耐心地看到这已经很棒了,但我不得不说一句,照着敲一遍吧,朋友。今天做不完,明天接着来,加油!

未经允许不得转载:作者:1536-林同学, 转载或复制请以 超链接形式 并注明出处 拜师资源博客
原文地址:《数据结构与算法(2)》 发布于2021-02-17

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