序列

• 从 N 到 R 的一个函数
  

• 按照一定顺序排列的数
  

• 表示方法

  • 通项
    
  • 描述
    

序列极限的定义

• Cauchy定义极限：Epsilon – N 语言
  for all n > N
  
• epsilon 的定义域可以写作
  
  所以
  

序列极限的性质和夹逼定理

序列极限的性质

• 单调收敛原理：单调有界的实数序列一定会有极限

• 唯一性证明：反证
  

• 有界性证明：反证
  

• 保序性证明
  

夹逼定理

• 证明：
  

重要极限

等比数列和的极限

∑

n

=

0

n

a

1

∗

q

n

=

a

1

(

1

−

q

n

)

1

−

q

/sum_{n=0}^{n} a_1 * q^n = /frac{a_1(1-q^n)}{1-q}

n=0∑n​a1​∗qn=1−qa1​(1−qn)​

极限为 e 表达式

• x_n < y_n
  • x_1, x_2, …, x_n, …, y_n, …, y_2, y_1
• x_n 单调上升，y_n单调下降
• x_n 和 y_n 的极限都为 e

从上面e的推导，得出欧拉常数

无穷小量、无穷大量和一组重要的阶的比较关系

无穷小量

• 任何指数没有阶乘增长的快：
  

无穷大量

无穷小量和无穷大量的阶

一组重要的阶的比较关系

• 证明举例
  

闭区间嵌套

聚点原理

波尔扎诺-维尔斯特拉斯定理

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