Python数据结构与算法_第7节_树与树算法

1389-李同学

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树与树算法

树的概念

Python数据结构与算法_第7节_树与树算法

  • 树(tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(

    n

    >

    =

    1

    n>=1

    n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

    • 每个节点有零个或多个子节点;
    • 没有父节点的节点称为根节点;
    • 每一个非根节点有且只有一个父节点;
    • 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树。

树的术语

  • 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;换句话说,就是一个节点有多少子节点就有多少该节点的度。
  • 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度。
  • 叶节点或终端节点:度为零的节点;树的最末端。
  • 父亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;该节点的上一级就是该节点的父节点。
  • 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;该节点的下一级就是该节点的子节点。
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。
  • 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;从上往下定义。
  • 树的高度或深度:树中节点的最大层次。
  • 堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟。
  • 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
  • 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
  • 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;

树的种类

  • 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树;没有任何研究价值
  • 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;
    • 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;树的度为2。

      • 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层(叶节点)外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树。

      若设二叉树的高度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第h层有叶子结点,并且叶子结点都是从左到右依次排布,这就是完全二叉树。Python数据结构与算法_第7节_树与树算法

      • 其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树。

      除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。
      Python数据结构与算法_第7节_树与树算法

      • 平衡二叉树(AVL树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树。

      去掉E、J两个节点之后,B左边的子树D高度为2,右边的子树高度为0,因此不平衡;若只去掉J,则B右边的子树高度为1,则平衡。Python数据结构与算法_第7节_树与树算法

      • 排序二叉树/二叉查找树/二叉搜索树/有序二叉树(Binary Search Tree):对于任何一个节点来说,左边的元素都比该节点小;右边的元素都比该节点大。实际上是一种二分查找
    • 霍夫曼树(用于信息编码):带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;

    • B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树,能够保持数据有序,拥有多余两个子树。

树的存储与表示

  • 顺序存储:将数据结构存储在固定的数组中,然在遍历速度上有一定的优势,但因所占空间比较大,一般不用做储存树。
  • 链式存储:由于对节点的个数无法掌握,常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理,子节点个数最多为2。因此需要进行扩充。

常见的一些树的应用场景

  • .xml,html等,那么编写这些东西的解析器的时候,不可避免用到树
  • 路由协议就是使用了树的算法
  • mysql数据库索引
  • 文件系统的目录结构
  • 很多经典的AI算法都是树搜索,此外机器学习中的decision tree也是树结构

二叉树

二叉树的基本概念

  • 二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。

二叉树的性质(特性)

  1. 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>0)。
  2. 深度为k的二叉树至多有2^k – 1个结点(k>0)。
  3. 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1。
  4. 具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)。
  5. 对完全二叉树,若从上至下、从左至右编号,则编号为i 的结点,其左孩子编号必为2i,其右孩子编号必为2i+1;其双亲的编号必为i/2(i=1 时为根,除外)。

二叉树的节点表示以及树的创建

class Node(object):
	"""节点类"""
	def __init__(self, elem=-1, lchild=None, rchild=None):
		self.elem = elem
		self.lchild = lchild
		self.rchild = rchild


class Tree(object):
	"""二叉树"""
	def __init__(self):
		self.root = None

	def add(self, item):
        """为树添加节点"""
        node = Node(item)
        #如果树是空的,则对根节点赋值
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        else:
            queue = [self.root]
            #对已有的节点进行层次遍历
            while queue:
                #弹出队列的第一个元素
                cur_node = queue.pop(0)
                if cur_node.lchild is None:
                    cur_node.lchild = node
                    return
                elif cur_node.rchild is None:
                    cur_node.rchild = node
                    return
                else:
                    #如果左右子树都不为空,加入队列继续判断
                    queue.append(cur_node.lchild)
                    queue.append(cur_node.rchild)

二叉树的遍历

Python数据结构与算法_第7节_树与树算法

  • 深度优先遍历:
    • 先序遍历(preorder):根 左 右 0 1 3 7 8 4 9 2 5 6
    • 中序遍历(inorder):左 根 右 7 3 8 1 9 4 0 5 2 6
    • 后序遍历(postorder):左 右 根 7 8 3 9 4 1 5 6 2 0
  • 层次遍历:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

深度优先遍历(depth first search)

  • 深度优先搜索(Depth First Search):沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。
先序遍历(preorder)
  • 先序遍历:先访问根节点,然后递归使用先序遍历访问左子树,再递归使用先序遍历访问右子树。
  • 根节点->左子树->右子树
	def preorder(self, node):
		"""先序遍历"""
		if node is None:
			return
		print(node.elem, end=" ")
		self.preorder(node.lchild)
		self.preorder(node.rchild)
中序遍历(inorder)
  • 中序遍历:递归使用中序遍历访问左子树,然后访问根节点,最后再递归使用中序遍历访问右子树。
  • 左子树->根节点->右子树
	def inorder(self, node):
		"""中序遍历"""
		if node is None:
			return
		self.inorder(node.lchild)
		print(node.elem, end=" ")
		self.inorder(node.rchild)
后序遍历(postorder)
  • 后序遍历:先递归使用后序遍历访问左子树和右子树,最后访问根节点。
  • 左子树->右子树->根节点
	def postorder(self, node):
		"""后序遍历"""
		if node is None:
			return
		self.postorder(node.lchild)
		self.postorder(node.rchild)
		print(node.elem, end=" ")

广度优先遍历(层次便利)

  • 从树的root开始,从上到下从从左到右遍历整个树的节点
	def breadth_travel(self):
			"""利用队列实现树的广度遍历(层次遍历)"""
			if self.root is None:
				return
			queue = [self.root]
			while queue:
				cur_node = queue.pop(0)
				print(cur_node.elem, end=" ")
				if cur_node.lchidl is not None:
					queue.append(cur_node.lchild)
				if cur_node.rchild is not None:
					queue.append(cur_node.rchild)

二叉树的遍历是否能确定一棵树?

  • 不会考层次遍历
  • 先序遍历、中序遍历、后序遍历中,给任意两个包括中序遍历的遍历方法,就能确定唯一的一棵树。因为中序遍历可以帮助我们分辨左右子树。
  • 通过先序遍历中的第一位0可以确定这个树的根为0。在中序遍历中找到0,把树分为左右两个子树;通过对比把先序也分成左右两个子树
  • 然后在先序遍历中找到0左边子树的根为1,1在中序遍历中进一步划分两个子树,将先序也对应划分为两个子树,以此类推确定整一棵树。
    Python数据结构与算法_第7节_树与树算法

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原文地址:《Python数据结构与算法_第7节_树与树算法》 发布于2020-12-03

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