Python数据结构与算法(八)—– 树与树算法

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树与树算法

1. 树的概念
树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

每个节点有零个或多个子节点;
没有父节点的节点称为根节点;
每一个非根节点有且只有一个父节点;
除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;
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2. 树的术语
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
叶节点或终端节点:度为零的节点;
父亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次;
堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;
3. 树的种类
无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树;
有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;
(1)二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;
(2) 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树,其中
(3)满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
(4)平衡二叉树(AVL树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树;
(5)排序二叉树(二叉查找树(英语:Binary Search Tree),也称二叉搜索树、有序二叉树);
(6) 霍夫曼树(用于信息编码):带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;
(7)B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树,能够保持数据有序,拥有多余两个子树。
4. 树的存储与表示
顺序存储:将数据结构存储在固定的数组中,然在遍历速度上有一定的优势,但因所占空间比较大,是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。
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链式存储:
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5. 常见的一些树的应用场景
(1)xml,html等,那么编写这些东西的解析器的时候,不可避免用到树
(2)路由协议就是使用了树的算法
(3)mysql数据库索引
(4)文件系统的目录结构
(5)所以很多经典的AI算法其实都是树搜索,此外机器学习中的decision tree也是树结构

1. 二叉树

1. 基本概念:
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)
2. 性质:
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>0)
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k – 1个结点(k>0)
性质3: 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全二叉树,若从上至下、从左至右编号,则编号为i 的结点,其左孩子编号必为2i,其右孩子编号必为2i+1;其双亲的编号必为i/2(i=1 时为根,除外)
3. 二叉树的节点表示以及树的创建

class Node(object):
    '''节点'''
    def __init__(self,item):
        self.elem = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

class Tree:
    '''二叉树'''
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self,item):
        node = Node(item)
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)

2. 二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问,即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次,我们把这种对所有节点的访问称为遍历(traversal)。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归,广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。
1. 深度优先遍历
对于一颗二叉树,深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。
那么深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点,它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历(preorder),中序遍历(inorder)和后序遍历(postorder)。我们来给出它们的详细定义,然后举例看看它们的应用。

(1) 先序遍历 在先序遍历中,我们先访问根节点,然后递归使用先序遍历访问左子树,再递归使用先序遍历访问右子树

根节点->左子树->右子树

    def preorder(self,node):
        '''先序遍历'''
        if node is None:
            return
        print(node.elem,end='')
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)

(2) 中序遍历 在中序遍历中,我们递归使用中序遍历访问左子树,然后访问根节点,最后再递归使用中序遍历访问右子树
左子树->根节点->右子树

    def inorder(self,node):
        '''中序遍历'''
        if node is None:
            return
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem,end='')
        self.inorder(node.rchild)

(3) 后序遍历 在后序遍历中,我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树,最后访问根节点
左子树->右子树->根节点

    def postorder(self,node):
        '''先序遍历'''
        if node is None:
            return
        self.postorder(node.lchild)
        self.postorder(node.rchild)
        print(node.elem, end='')

2. 广度优先遍历
从树的root开始,从上到下从从左到右遍历整个树的节点

        def breadth_travel(self):
        '''广度遍历'''
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem)
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)

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原文地址:《Python数据结构与算法(八)—– 树与树算法》 发布于2020-06-25

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