数据结构与算法01

2234-川同学

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1 引言

1.1 一个例子

如果 a+b+c=1000,且 a2+b2=c**2(a,b,c 为自然数),如何求出所有a、b、c可能的组合?
法一:枚举法:穷举所有的可能

for a in range(0, 1001):
    for b in range(0, 1001):
        for c in range(0, 1001):
            if a**2 + b**2 == c**2 and a+b+c == 1000:
                print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))

用时:214秒
法二:

# 两重循环,知道了a和b,c就固定了
for a in range(0, 1001):
    for b in range(0, 1001-a):
        c = 1000 - a - b
        if a**2 + b**2 == c**2:
            print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))

用时:1秒

1.2 算法的概念

算法是计算机处理信息的本质,因为计算机程序本质上是一个算法来告诉计算机确切的步骤来执行一个指定的任务。一般地,当算法在处理信息时,会从输入设备或数据的存储地址读取数据,把结果写入输出设备或某个存储地址供以后再调用。算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想。

算法的五大特性
1.输入: 算法具有0个或多个输入
2.输出: 算法至少有1个或多个输出
3.有穷性: 算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环,并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成
4.确定性:算法中的每一步都有确定的含义,不会出现二义性
5.可行性:算法的每一步都是可行的,也就是说每一步都能够执行有限的次数完成

1.1中的两个方法都是算法,那如何衡量这俩个算法的好坏呢?

1.3 算法的衡量

用运行时间?不准确,运行时间和电脑的配置有关
运行时间 = 有几个步骤 * 每个步骤所花时间
用完成这个算法要几个步骤来衡量,用“大O记法”来表示。即是用时间复杂度来衡量算法的优劣。
“大O记法”:对于单调的整数函数f,如果存在一个整数函数g和实常数c>0,使得对于充分大的n总有f(n)<=c*g(n),就说函数g是f的一个渐近函数(忽略常数),记为f(n)=O(g(n))。也就是说,在趋向无穷的极限意义下,函数f的增长速度受到函数g的约束,亦即函数f与函数g的特征相似。
时间复杂度:假设存在函数g,使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n)=O(g(n)),则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度,简称时间复杂度,记为T(n)。

1.4 计算时间复杂度

分析算法时,存在几种可能的考虑:

  • 算法完成工作最少需要多少基本操作,即最优时间复杂度
  • 算法完成工作最多需要多少基本操作,即最坏时间复杂度
  • 算法完成工作平均需要多少基本操作,即平均时间复杂度
    最优时间复杂度,反映的只是最乐观最理想的情况,没有参考价值。对于平均情况的计算,也会因为应用算法的实例分布可能并不均匀而难以计算。
    因此,我们主要关注算法的最坏情况,亦即最坏时间复杂度。

如何计算

  • 基本操作,即只有常数项,认为其时间复杂度为O(1)
  • 顺序结构,时间复杂度按加法进行计算
  • 循环结构,时间复杂度按乘法进行计算
  • 分支结构,时间复杂度取最大值
  • 判断一个算法的效率时,往往只需要关注操作数量的最高次项,其它次要项和常数项可以忽略
  • 在没有特殊说明时,我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

法一的时间复杂度T(n) = O(nnn) = O(n3)
法二的时间复杂度T(n) = O(nn(1+1)) = O(n*n) = O(n2)
因此法二优于法一

1.5 常见时间复杂度

数据结构与算法01
数据结构与算法01
所消耗的时间从小到大:
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^2logn) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

1.6 Python内置类型性能分析

列表相关的操作:
数据结构与算法01
字典相关的操作:
数据结构与算法01

1.7 数据结构

1.7.1 概念

数据是一个抽象的概念,将其进行分类后得到程序设计语言中的基本类型。如:int,float,char等。数据元素之间不是独立的,存在特定的关系,这些关系便是结构。数据结构指数据对象中数据元素之间的关系。

Python给我们提供了很多现成的数据结构类型,这些系统自己定义好的,不需要我们自己去定义的数据结构叫做Python的内置数据结构,比如列表、元组、字典。而有些数据组织方式,Python系统里面没有直接定义,需要我们自己去定义实现这些数据的组织方式,这些数据组织方式称之为Python的扩展数据结构,比如栈,队列等。

1.7.2 数据结构与算法

数据结构只是静态的描述了数据元素之间的关系。

高效的程序需要在数据结构的基础上设计和选择算法。

程序 = 数据结构 + 算法

1.7.3 抽象数据类型(Abstract Data Type)

把数据类型和数据类型上的运算捆在一起,进行封装。引入抽象数据类型的目的是把数据类型的表示和数据类型上运算的实现与这些数据类型和运算在程序中的引用隔开,使它们相互独立。

最常用的数据运算有五种:

  • 插入
  • 删除
  • 修改
  • 查找
  • 排序

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原文地址:《数据结构与算法01》 发布于2021-10-10

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